对于神经动力系统运动过程中环形结构的分析

相关模型来自Yiheng Zhang, Yun Chen, Tianwei Wang, He Cui (2025) Neural geometry from mixed sensorimotor selectivity for predictive sensorimotor control eLife 13:RP100064

PCA是一种正交变换，保持变换前后的距离，因此为了分析神经活动中的环形结构是如何产生的，先在原始的高维空间中考虑

神经系统的旋转模式实际上来自于周期函数 \(\cos(\theta)\)，接下来分别对PD shift,Gain,Additive这几种Tuning Curve模型进行分析

Gain

\[ FR = \left( \frac{a_1}{1+e^{-a_2(\mathit{vel}.)}} + c_2 \right) \cdot \cos\left(\theta - \theta_{pd}\right) + c_1 \]

神经元群体的状态为\(s=(FR_1,FR_2,\cdots,FR_N)\)，在同一条件（vel.和\(\theta\)不变）下，\(FR_i\)只和神经元的偏好方向\(\theta_{pd}\)有关

由于\(\cos(\theta - \theta_{pd})=\cos\theta\cos\theta_{pd}+\sin\theta\sin\theta_{pd}\)

设 \[ \begin{array}{l} \alpha=(\cos\theta_{pd,1},\cdots,\cos\theta_{pd,N})^T\\ \beta=(\sin\theta_{pd,1},\cdots,\sin\theta_{pd,N})^T\\ C=(c_{1,1},\cdots,c_{1,N})^T\\ A=\left(\frac{a_{1,i}}{1+e^{-a_{2,i}(vel.)}}+c_{2,i}\right)_{N\times 1} \end{array} \] 则\(s=(\cos\theta A\circ\alpha+\sin\theta A\circ\beta)+C\)，其中\(\circ\)表示Hadamard乘积

当\(\theta\)变化时，\(s\)的轨迹在\(A\circ\alpha,A\circ\beta\)张成的二维子空间中的椭圆，中心在\(C\)点。由于\(C\)是常量，因此所有椭圆的中心都在一点，对应Fig4D2

当vel.变化时，平面的法向量\(A\circ\alpha\times A\circ\beta\)​也在变化，会造成平面倾角的出现，但由于N>3维空间中平面间的情况较为复杂

尽管倾角的情况较为复杂，但由于\(A\)本身包含了分母指数项，且对倾角的计算涉及三角函数，计算结果大概率同时包含两者，因此倾角和vel.间的关系应该不是线性的

Additive

\[ FR = a_1 \cdot \cos\left(\theta - \theta_{pd}\right) + \frac{a_3}{1+e^{-a_2(\mathit{vel}.)}} + c_1 \]

同样的，

设\(C=(\frac{a_{3,1}}{1+e^{-a_{2,1}(vel.)}}+c_{1,1},\cdots,\frac{a_{3,N}}{1+e^{-a_{2,N}(vel.)}}+c_{1,N})^T,A=\left(a_{1,1},\cdots,a_{1,N}\right)^T\)

\(s=(\cos\theta A\circ\alpha+\sin\theta A\circ\beta)+C\)

此时\(A\)是常量，vel.的改变不影响\(A\)，影响\(C\)，因此每个椭圆相互平行，彼此间错开，中心的轨迹满足参数曲线\(C\)，对应Fig4D3

PD shift

\[ FR = a_1 \cdot \cos\left( \theta - \theta_{pd} + \frac{a_3}{1+e^{-a_2(\mathit{vel}.)}} \right) + c_1 \]

\[ \begin{array}{l} \alpha=\left(\cos\left(\theta_{pd,1}-\frac{a_{3,1}}{1+e^{-a_{2,1}(vel.)}}\right),\cdots,\cos\left(\theta_{pd,N}-\frac{a_{3,N}}{1+e^{-a_{2,N}(vel.)}}\right)\right)^T\\ \beta=\left(\sin\left(\theta_{pd,1}-\frac{a_{3,1}}{1+e^{-a_{2,1}(vel.)}}\right),\cdots,\sin\left(\theta_{pd,N}-\frac{a_{3,N}}{1+e^{-a_{2,N}(vel.)}}\right)\right)^T \end{array} \]

此时\(A,C\)为常量

所有的椭圆中心仍在同一点上，对应Fig4D1

\(\alpha,\beta\)受vel.的影响，因此体现不出方向选择性

此时不同vel.的椭圆同样能呈现出不同的倾斜角，但这种倾斜角与Gain模型倾斜角的来源是不同的

混合模型

混合模型是三个模型的和，保持椭圆的模式，并且相位、长短轴、中心位置均受vel.的影响，但实验中发现相位不受影响，可能是拟合的时候\(a_3\)接近于0。从对应Fig4D中也可以看出混合模型与Additive模型偏离较大，接近另外两个模型。

PC1-PC2平面表示方向的原因

PCA是寻找数据中方差最大的方向，而在高维空间的椭圆中，方差最大的方向是该椭圆的长轴，其次是短轴，理想情况下其它方向的方差为0，因此PC1-PC2平面对应了椭圆所在的平面，即表示方向

当存在多个椭圆时应该接近这些椭圆倾角的平均值