临界分支模型

分支过程

\(\xi_i\)是独立同分布的变量，表示一个个体产生下一代的随机变量

\(Z_0=1,Z_{n+1}=\sum_{i=1}^{Z_n}\xi_i\)

生成函数

设\(\xi\)的生成函数为\(G(s)=\sum_{k=0}^\infty p_ks^k\)

\(Z_n\)的生成函数为\(G_n(s)=E\left[s^{Z_n}\right]=G(G_{n-1}(s))=G^{(n)}(s)\) (由期望的定义与独立性证明)

期望\(E[\xi]=\mu=G'(1)\)

性质

\(G(s)\)在\(s\ge0\)上是凸函数

\(\mu=1\)时\(s=G(s)\)的最小非负解是\(1\) (分析\(G(s)-s\)的单调性证明)

群体规模

递推公式：\(E[Z_{n+1}]=E[E[Z_{n+1}|Z_n]]=E\left[E\left[\sum_{i=1}^{Z_n}\xi_i|Z_n\right]\right]=\mu E[Z_n]\) (由Wald等式证明)

灭绝概率

设\(q_n=P(Z_n=0)\)为到第\(n\)代灭绝的概率，\(q=P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}\{Z_n=0\}\right)\)为最终灭绝概率

由于\(\{Z_n=0\}\subset\{Z_{n+1}=0\}\)

所以\(q_n\le q_{n+1}\)

且\(q=P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}\{Z_n=0\}\right)=\lim_{n\to\infty}P(Z_n=0)=\lim_{n\to\infty}q_n\)

由递推公式\(q_{n+1}=G_{n+1}(0)=G(G_n(0))=G(q_n)\)

\(q\)是\(s=G(s)\)的解

对于任意非负解\(s^*\)，由单调性，\(0\le G_n(0)\le G_n(s^*)=s^*\)

两边对n取极限，得\(0\le q\le s^*\)

因此\(q\)是\(s=G(s)\)的最小非负解

雪崩大小

设\(S\)为分支过程从开始到灭绝产生的总个体数

\(S\)可分解为后代个体数的和，即\(S=1+\sum_{i=1}^k S_i\)

\(E\left[s^S|k\right]=sE\left[s^{\sum_{i=1}^k S_i}|k\right]=s\prod_{i=1}^kE\left[s^{S_i}\right]=sQ(s)^k\) (\(k\)服从\(\xi\)的分布且后代的雪崩大小分布与祖先相同)

\(S\)生成函数为\(Q(s)=E\left[s^S\right]=\sum p_k E\left[s^S|k\right]=sG(Q(s))\)

可证\(P(S=r)\propto r^{-\frac{3}{2}}\) (Harris, The Theory of Branching Processes, 1963, Theorem 13.1)

自组织分支过程

分支过程的参数需要人为调整，不能自发到达临界态

Self-Organized Branching Processes: Mean-Field Theory for Avalanches对此引入了修正机制，令每一代，产生后代的概率不再是相同的